下面是范文网小编整理的函数单调性教学设计5篇(函数单调性的教学目标和难点)，以供借鉴。
函数单调性教学设计1
函数的单调性教学设计
戴氏教育高中数学组
杜剑 【教材分析】
《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】
知识与技能：
1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：
1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：
1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。
2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】
重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】
为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：
1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。
2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。【学法分析】
在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】
（一）问题情境
遵义一天的天气
设计意图：用天气的变化，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。
（二）温故知新
1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究y?x2时，我们知道，当x0时，函数值y随x的增大而增大。
回忆初中对函数单调性的解释：
图象呈逐渐上升趋势?数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势?数值y随x的增大而减小。
函数这种性质称为函数的单调性。
设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。
（三）建构概念
问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)。
单调增函数的定义：
问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。
设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。
（四）理解概念
1．顾名思义，对“单调”两字加深理解
汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。2．呼应引入，解决问题情境中的问题
如：y?2x?1的单调增区间是(??,??)；y?3．单调性是函数的“局部”性质 如：函数y?上减函数？
引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x1??1,x2?
1在(0,??)上是减函数。x11在(0,??)和(??,0)上都是减函数，能否说y?在定义域(??,0)(0,??)上xx1）。
2设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生
3 一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。
（五）运用概念
通过两例，教师要向学生说明： 1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。
2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y?|x?1|?
1、y?|x2?1|的图象，写出他们的单调区间。
设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。
（六）回顾总结
本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】
1．给出生活实例和函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始。这里，通过问题，引发学生的进一步学习的好奇心。
2．给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明，分析定义，提问等办法，使学生把定义与直观图象结合起来，加深对概念的理解，渗透数形结合分析问题的数学思想方法。
3．有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究。
4．通过安排基本练习题，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。
5．让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述，它经历了由图象直观感知到自然语言描述，再到数学符号语言描述的进化过程，这个过程充分反映了数学的理性精神，是一个很有价值的数学教育载体。
6．教学设计最根本的着力点是“为学习设计教学”，而不是“为教学设计学习”。通过对“函数单调性”教学设计，我对“为学习设计教学”有了更深的理解。如果把教学看作是教师带领学生一起去远足，那么学情分析的目的是要分析学生的认知基础，确定一个合情合理的教学起点；目标导向这是要教师分析预期达到的教学效果，即远足所期望到达的目的地，这是教学的根本和核心任务，是教学设
4 计的关键；知识定位则好比是教师要预先分析通往目的地的道路状况，从而决定前进的方法和策略；问题设计则好比是设计行程，恰当安排可以指引师生高效地向着目的地前行。本节课就是通过这样的设计思想来安排教学设计的。
函数单调性教学设计2
《函数的单调性》教学设计
一、教材分析
函数的单调性是函数的重要性质．从知识的网络结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用．函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用．
二、教学目标
（1）知识与技能目标：使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法目标：引导学生通过观察、归纳、抽象、概括，自主建构单调增函数、单调减函数等概念；能运用函数单调性概念解决简单的问题；使学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．
（3）情感态度与价值观：在函数单调性的学习过程中，使学生体验数学的科学价值和应用价值，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度．
三、教法学法分析
教法分析：
1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性．
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念．
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达． 学法分析：
1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃．
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．
四、教学过程
函数单调性的概念产生和形成是本节课的难点，为了突破这一难点，在教学设计上采用了下列四个环节．
（一）创设情境，提出问题
（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2006年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：
[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：
问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？
问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ [设计意图]问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．这里，通过两个问题，引发学生的进一步学习的好奇心．
（二）探究发现 建构概念
[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答． [教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1?8时，这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8
问题3:对于任意的t
1、t2∈[4，16]时，当t1?t2时，是否都有f(t1)?f(t2)呢? [学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述．
[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)”．告诉他们“把满足这些条件的函数称之为单调增函数”，之后由他们集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：
问题4： 类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？ 最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．
[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．
（三）自我尝试 运用概念
1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的． [教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明． [学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．
[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画出的草图和标出的单调区间，并指出学生回答问题时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．
[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．
2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？ [教师活动]问题6：证明f(x)?1在区间（0，+ ∞）上是单调减函数． x[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较f(x1)与f(x2)的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．
[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．
[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和操作流程：取值作差变形定号判断． [设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．
（四）回顾反思深化概念 [教师活动]给出一组题：
1、定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)?f(1)，那么函数f(x)是R上的单调增函数还是单调减函数？
2、若定义在R上的单调减函数f(x)满足f(1?a)?f(3?a)，你能确定实数的取值范围吗？
[学生活动]学生互相讨论，探求问题的解答和问题的解决过程，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：
（1）阅读课本P29例
1、2
（2）书面作业： 必做：教材作业
选做：二次函数y?x2?bx?c在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数b的值唯一吗？ 探究：函数y?x在定义域内是增函数，函数y?1有两个单调减区间，由这两个基本函x数构成的函数y?x?1的单调性如何？请证明你得到的结论． x[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．
五、教学评价
学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价．教师应当高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、团队精神、合作意识、独立思考习惯的养成、数学发现的能力，以及学习的兴趣和成就感．学生熟悉的问题情境可以激发学生的学习兴趣，问题串的设计可以让更多的学生主动参与，师生对话可以实现师生合作，适度的研讨可以促进生生交流以及团队精神，知识的生成和问题的解决可以让学生感受到成功的喜悦，缜密的思考可以培养学生独立思考的习惯．让学生在教师评价、学生评价以及自我评价的过程中体验知识的积累、探索能力的长进和思维品质的提高，为学生的可持续发展打下基础．
函数单调性教学设计3
函数的单调性教学设计
1．设计构思： 设计理念：
本设计基于学生的认知规律，在设计时将尽可能采用探索式教学，让学生自己观察，主动去探索。而教学时尽可能够顾及到全体学生，达到优生得到培养，后进生也有所收获的效果。同时在教学中将理论联系实际，让学生用所学的知识去解决问题（练习）。而教师在整个过程中充当引导者、组织者，注重培养学生的归纳发现能力、理论证明能力、多位拓展能力等。
教材地位和作用：
函数单调性是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅是前面所学函数知识的延伸，更为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的思维能力，及分析问题和解决问题的能力。
教学目标的设计： 重点：函数单调性的概念； 难点：函数单调性的判定及证明； 关键：增函数与减函数的概念的理解。教学目标的确定及依据：
依据教学目标和教育原则，本节知识的特点以及学生已有的知识结构现状，我制定了如下教育教学目标。
（1）、知识目标：理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的基本方法（作差比较法，作商比较法。主要是做差比较法）；了解函数单调区间的概念。
（2）、能力目标：培养学生阅读、自学、分析、归纳能力；抽象思维能力及推理判断的能力和勇于探索的精神。
（3）、情感目标：体会用运动变化的观点去观察、分析事物的方法。培养学生对数学美的艺术体验。在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离。培养学生对数学的兴趣。
教学方法：辅导自学法、讨论探究法、讲授法。
教学手段：根据本节内容的特点，为了更有效地突出教学重点，突破教学难点，展示知识的发生过程，提高课堂效率，使教学目标更完美地体现。我将运用现代信息技术辅助课堂教学。使用投影仪对学生探究的成果进行展示。
1．5教学过程：
1 课题引入（引入---设疑----激趣）-------新授概念（自主探究---成果展示---总结强调）概念应用1（总结探究-------延伸过渡调）概念应用2（引导探究----总结归纳）应用探究（实践-------总结提高）课后延展（再实践-------再提高）2．实施方案
设疑：观察给出的函数的图象，并指出在定义域内的上升与下降情况。激趣：如何用x与 f(x)来描述上升的图象？如何用x与 f(x)来描述下降的图象？
（意图：明确目标、引起思考。给出函数单调性的图形语言，调动学生的参与意识，通过直观图形得出结论，渗透数形结合的数学思想。用提问的方式，简单介绍本节课的主要内容，激发学习兴趣要求学生带着问题阅读教材，通过问题的解决掌握基本内容。有助于培养学生的观察能力、自学能力和解决问题的能力。）
成果展示 总结强调：
1、单调区间如何理解和划分？
2、增、减函数的定义用语言如何描述？（可以结合初中对函数的描述进行引导）
3、如何从图形上判断单调性？
（意图： 通过展示自学成果，加深对概念的多方理解，让部分学生体会学习的乐趣，从而激发和带动其他同学的学习积极性。另外强调两点：
1、必须在函数定义域上来讨论函数增减性；
2、对于定义域内的某个区间的任意两个自变量成立）
总结探究：对一次函数y=kx+b
1、k的正、负对函数的单调性有何影响？
2、b的变化对函数的单调性有何影响？
（意图：通过讨论使学生深入理解和掌握概念，培养学生的抽象思维能力，培养学生研究数学的能力，学会归纳总结。）
延伸过渡：一般函数除从图形上判断单调性，还有其它证明和判断方法吗？ 引导探究：在例2 的证明中在由x1>x2
时
判断f(x1)，f(x2)大小时 的基本方法是什么？还有其它方法吗？（作商法）
总结归纳：
1、作差时的基本变形有那些？（主要用：分解因式、配方等）
2、什么时候可以用作商法？
2（意图：学生难以从例题中归纳出判断(证明)方法及步骤，所以在详细讲解的过程中，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性。同时说明数学题型间的转化关系，使学生体验数学中的艺术美。另外通过探究加深对基本方法的掌握，拓宽解题思路使学生容易突破本节的难点，掌握本节重点）
应用探究；
1、函数f(x)=1的定义域什么？ x
12、函数f(x)=在定义域上也是减函数吗？
x
3、课堂实践（练习）
（意图：通过此题的探究、辅导、讲解，强化解题步骤，形成并提高解题能力。调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，从而培养学生的发散思维，开阔解题思路，使学生形成良好的学习习惯）。
课后延展：、作业，思考
1、比较一次函数y=2x+3和二次函数y=x2的图象上有最低点和最高点吗？
2、通过图象观察函数值有最大或最小值吗？
3、再换成函数y=2x+3(0
（意图：通过练习作业加深对概念的理解，熟悉判断方法，达到巩固，消化新知的目的。同时思考题的设计对下一节的学习起到承上启下的作用。）
函数单调性教学设计4
函数的单调性教学设计
【教学目标】知识与技能：
1．通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2．学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法：
1．通过本节课的教学，渗透数形结合的数学思想，对学生进行辨证唯物主义的教育。2．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。情感与态度：
1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。
2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】
重点：函数单调性概念的理解及应用。难点：函数单调性的判定及证明。关键：增函数与减函数的概念的理解。【教学过程设计】
（一）问题情境1．海宁潮，又名钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下无”。海宁潮是一个壮观无比的自然动态奇观，当江潮从东面来时，似一条银线，“则玉城雪岭际天而来，大声如雷霆，震撼激射，吞天沃日，势极雄豪”。潮起潮落，牵动了无数人的心。
如何用函数形式来表示，起和落？
2．教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：蒸蒸日上、每况愈下、此起彼伏。
如何用学过的函数图象来描绘这些成语？
设计意图：创设海宁潮潮起潮落，成语→图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。
（二）温故知新
1．问题1：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。
观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。
2．问题2：对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的？ 例如：初中研究y?x时，我们知道，当x0时，函数值y随x的增大而增大。
回忆初中对函数单调性的解释：
图象呈逐渐上升趋势?数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势?数值y随x的增大而减小。
函数这种性质称为函数的单调性。
1 2设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。
（三）建构概念
问题3：如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢？
对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)。单调增函数的定义：
问题4：如何定义单调减函数呢？ 可以通过类比的方法由学生给出。
设计意图：通过师生双边活动及学生讨论，可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程，让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象，从文字到符号，从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义，通过类比的方法，由学生自己得到单调减函数的概念，在这个过程中，学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。
（四）理解概念
1．顾名思义，对“单调”两字加深理解
汉语大词典对“单调”的解释是：简单、重复而没有变化。
2．呼应引入，解决问题情境中的问题如：y?2x?1的单调增区间是(??,??)；y?
1在(0,??)x上是减函数。
3．单调性是函数的“局部”性质如：函数y?在定义域(??,0)11在(0,??)和(??,0)上都是减函数，能否说y?xx1）。2(0,??)上上减函数？
引导学生讨论，从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论（如取x1??1,x2?
设计意图：学生对一个概念的认识不可能一次完成，教师要善于从多个角度，通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前，先与学生一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要，可以加深学生对“任意”两字的理解。
（五）运用概念
通过两例，教师要向学生说明：1．判断函数单调性的主要方法：①观察法：画出函数图象来观察；②定义法：严格按照定义进行验证；③分解法：对函数进行恰当的变形，使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。
2．概括出证明函数单调性的一般步骤：取值→作差→变形→定号。练习：作出函数y?|x?1|?
1、y?|x?1|的图象，写出他们的单调区间。
设计意图：单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题，通过本例，要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别，掌握证明函数单调性的程序，并深入理解什么是代数证明，代数证明要做什么事。
（六）回顾总结本节课主要学习了函数单调性的定义，单调区间的概念，能利用（1）图象法；（2）定义法来判定函数的单调性，从中体会了数形结合的思想，学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。
函数单调性教学设计5
函数的单调性”教学设计
南京师大附中 陶维林
一、内容和内容解析
函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质．如函数单调增表现为“随着x增大，y也增大”这一特征．与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质．
函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质．
函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法．这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般．首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用（外部）．可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位．
教学的重点是，引导学生对函数在区间（a，b）上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间（a，b）上任意取x1，x2，当x1＜x2时，有 f（x2）＞f（x1）（或f（x2）＜f（x1）＝，则称函数f（x）在区间（a，b）上单调增（或单调减）．
二、目标和目标解析
本节课要求学生理解函数在某区间上单调的意义，掌握用函数单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法（步骤）．
1．能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；
2．能够举例，并通过绘制图形说明函数在定义域的子集（区间）上具有单调性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局部性质；
3．对于一个具体的函数，能够用单调性的定义，证明它是增函数还是减函数：在区间上任意取x1，x2，设x1＜x2，作差f（x2）－ f（x1），然后判断这个差的正、负，从而证明函数在该区间上是增函数还是减函数．
三、教学问题诊断分析
学生已有的认知基础是，初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的数学概念；进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个数集之间的一种对应．学生还了解函数有三种表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察．此外，还学习过一次函数、二次函数、反比例函数等几个简单而具体的函数，了解它们的图象及性质．尤其值得注意的是，学生有利用函数性质进行两个数大小比较的经验．
“图象是上升的，函数是单调增的；图象是下降的，函数是单调减的”仅就图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．困难在于，把具体的、直观形象的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述．即把某区间上“随着x的增大，y也增大”（单调增）这一特征用该区间上“任意的x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”（单调增）进行刻画．其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的x1，x2．
教学中，通过二次函数这个具体函数的图象及数值变化特征的研究，得到“图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出单调增的说法．通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出“在某区间上，如果对于任意的x1＜x2有f（x1）＜f（x2）”则函数在该区间上具有“图象是上升的”、“随着x的增大，y也增大”的特征．进一步给出函数单调性的定义．然后通过辨析、练习等帮助学生理解这一概念．
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解可能是不现实的．在今后，学生通过判断函数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题，等一系列学习活动可以逐步理解这个概念．
四、教学支持条件分析
为了有效实现教学目标，条件许可，可以借助计算机或者计算器绘制函数图象，同时辅以坐标计算、跟踪点以及等手段观察函数的数字变化特征．
五、教学基本流程
六、教学过程设计
1．用好节前语，引出课题
函数是描述事物运动变化规律的数学模型．如果了解了函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律，因此研究函数的性质十分必要．在事物变化过程，保持不变的特征就是这个事物的性质．
问题1 观察图1中各个函数的图象，你能说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律吗？
图1 设计意图：从形到数，借助对函数图象的观察，想象相应的函数的性质．引导单调函数的“直观定义”．
可能的回答是，第一个图中的函数图象，自左而右是上升的；第二个图中的函数图象，自左而右，有时是上升的有时是下降的；第三个图中的函数图象，自左而右也是有时上升有时下降的，而且是关于y轴对称的．
师：对于运动变化问题，最基本的就是描述变化的快与慢、增与减??相应的，函数的特征就包含：函数的增与减，我们把函数的这种性质称为“单调性”．
教师结合上述直观认识，写出课题：函数的单调性．
2．函数单调性的“直观定义”
结合上述直观认识，给出单调函数的“直观定义”：
设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为函数的单调增区间；在区间D上，若函数的图像（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为函数的单调减区间．
例1（教科书第29页例1）图2是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？
设计意图：用“直观定义”判断单调性，并强调单调性的“局部性”．
图2 3．函数单调性的“描述性定义”
仅从图象上观察出函数的性质，只是得到了“定性刻画”，对函数的变化情况只是“大致了解”，显然不够，我们希望“量化”，这样才能准确．
教师借助几何画板作出函数y＝x2的图像，并在函数y＝x2的图像上任画一点P，测量出其横坐标与纵坐标，制作表格．拖动点P，表格自动增行．
问题2 根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值与它对应．那么，当一个函数在某一区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的，自变量的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？
设计意图：对函数的单调性的刻画，从图形的刻画过渡到数量关系，即从图形语言的表述过渡到自然语言的表述．
由上面的表格可见，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间（－∞，0上，随着自变量x增大，函数值y减少；在区间0，＋∞）上，随着自变量x增大，函数值y也增大．
由此得到单调函数的“描述性定义”：
设函数的定义域为I，区间DI．在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间D上是增函数；在区间D上，若随着自变量x增大，函数值y反而减小，则称函数在区间D上是减函数．
4．从“定性定义”过渡到“定量定义”
虽然完成了对函数单调性的从图形语言表述到自然语言的表述，但这样的描述还不是“量化”的，所以，要把定性的数量变化关系转化为定量的数量变化关系．这是本课的重点，也是难点所在．
从上面的结论，可以看到，函数在区间D上是增函数，那么随着自变量x增大，函数值y也增大．
问题3 如果对于区间（a，b）上的任意x有f（x）＞f（a），则函数f（x）在区间（a，b）上单调增．这个说法对吗？请你说明理由（举例或者画图）．
设计意图：继续企图通过对描述性定义的辨析，逐渐引出定量定义．必须是两个变化的量的比较．
问题4 函数f（x）在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜?＜?＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜?＜?f（b），能不能说明它在（a，b）单调增？请你说明理由（举例或者画图）．
设计意图：本问题较为贴近描述性定义，但这是对描述性定义的误解．通过对函数描述性定义的辨析，逐渐使得同学们认识到要使函数f（x）在区间（a，b）上具有单调增的特征，必须允许自变量x 在区间（a，b）上“任意取”，且只要“取两个”就够了．也给学生使用符号说明单调性以示范或提示．
从上面的讨论可以看到，函数f（x）在区间（a，b）对任意x有f（x）＞f（a），也不能说明它在（a，b）单调增；在区间（a，b）上有无数个自变量x，使得当a＜x1＜x2＜?＜?＜b时，有f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜?＜?f（b）也不能说明它在（a，b）单调增．那么自变量x在区间（a，b）上到底该怎样取值好呢？我们再来看一看具体的函数f（x）＝x2．
教师利用几何画板演示：在函数f（x）＝x2的图象上，位于区间0，＋∞）任选两个点，自变量大的函数值也一定大．并提出
问题5 在函数f（x）＝x2，x∈0，＋∞）的图象上任意取两点，自变量大的函数值也一定大，能否说明函数f（x）＝x2在0，＋∞）上单调增？
设计意图：由问题4可见，刻画函数单调性不在于所取自变量个数的多少，关键在于是否能够任意取值，而且必须任意取两个．
这个问题的答案是显然的．教师立即提出“怎样用符号来表示？”的问题．引导学生获得“只要任意x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）”即可．
经过议论，获得共识——函数单调性的定义．
一般地，设函数f（x）的定义域为I．如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
这个定义中的关键词是什么呢？是“任意”二字．
5．单调性定义的应用（课堂练习）
练习1 画出反比例函数f（x）＝的图象，并回答下列问题：
（1）指出这个函数的单调性；
（2）是否可以说“这个函数在定义域I上是单调减？”为什么？
设计意图：通过具体问题，使学生认识函数的单调性是函数在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质（在整体上未必有）．进一步认识“任意”二字的意义，加深对函数单调性的认识．
答：（1）函数f（x）＝在区间（－∞，0）上单调减，在区间（0，＋∞）上也单调减．（图象略）．
（2）这个函数的定义域I＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．不能说“这个函数在定义域I上是单调减”．事实上，取x1＝－1，x2＝1，而f（－1）＝－1，f（1）＝1，f（－1）＜f（1）．
练习2 物理学中的波利尔定律p＝（k是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积V减小，压强p将增大．试用函数的单调性证明之．（教科书第29页例2）
设计意图：函数单调性概念的应用．逐步掌握利用单调性定义证明一个函数在某区间上具有某种单调性的步骤．加深对函数单调性的理解．
分析 怎样来证明“体积V减小，压强p将增大”呢，根据函数单调性的定义，只要证明函数p＝（k是正常数）是减函数．怎样证明函数p＝（k是正常数）是减函数呢，只要在区间（0，＋∞）（因为体积V＞0）任意取两个大小不相等的值，证明较小的值对应的函数值较大，即
设V1＜V2，去证明p1＞p2．也就是只要证明p1－p2＞0．
证明：设V1＜V2，V1，V2∈（0，+∞）．
p1－p2＝－＝．
因为k是正常数，V1＜V2，所以＞0，p1＞p2．
所以，体积V减小，压强p将增大．
6．课堂小结
这节课，我们学习了“函数的单调性”，“如果函数在区间（a，b）单调减，那么这个函数有什么特征？”
设计意图：企图明确，f（x）在区间D上是减函数 f（x）的图像在区间D上是下降的在区间D上自变量增大函数值减小．类似地，f（x）在区间D上是增函数 f（x）的图像在区间D上是上升的在区间D上自变量增大函数值也增大．
教师总结研究问题的过程（突出思想方法）——“图形直观——定性刻画——定量刻画”，最后用不等式，即“大小比较”的方法刻画一种变化规律，描述一个变化过程．
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