高中数学教学设计 篇1
高中数学教学设计——函数的奇偶性
函数的奇偶性是函数的重要性质,是对函数概念的深化.它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于坐标原点成中心对称.这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析.教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象,概括出了函数奇偶性的准确定义.然后,为深化对概念的理解,举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例.最后,为加强前后联系,从各个角度研究函数的性质,讲清了奇偶性和单调性的联系.这节课的重点是函数奇偶性的定义,难点是根据定义判断函数的奇偶性. 教学目标
1.通过具体函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培养其抽象的概括能力.
2.理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性.
3.在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括能力,体验数学既是抽象的又是具体的. 任务分析
这节内容学生在初中虽没学过,但已经学习过具有奇偶性的具体的函数:正比例函数y=kx,反比例函数,(k≠0),二次函数y=ax,(a≠0),故可在此基础上,引入奇、偶函数的概念,以便于学生理解.在引入概念时始终结合具体函数的图像,以增加直观性,这样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔.对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集;对于在有定义的奇函数y=f(x),一定有f(0)=0;既是奇函数,又是偶函数的函数有f(x)=0,x∈R.在此基础上,让学生了解:奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数.关于单调性与奇偶性关系,引导学生拓展延伸,可以取得理想效果. 教学设计
一、问题情景
1.观察如下两图,思考并讨论以下问题:
(1)这两个函数图像有什么共同特征?
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的? 可以看到两个函数的图像都关于y轴对称.从函数值对应表可以看到,当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同.
对于函数f(x)=x,有f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f(2),f(-1)=1=f(1).事实上,对于R内任意的一个x,都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x).此时,称函数y=x2为偶函数.
2.观察函数f(x)=x和f(x)= 的图像,并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两个函数有什么共同特征.
22可以看到两个函数的图像都关于原点对称.函数图像的这个特征,反映在解析式上就是:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值f(x)也是一对相反数,即对任一x∈R都有f(-x)=-f(x).此时,称函数y=f(x)为奇函数.
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义 1.奇、偶函数的定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫作奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫作偶函数.
2.提出问题,组织学生讨论
(1)如果定义在R上的函数f(x)满足f(-2)=f(2),那么f(x)是偶函数吗?(f(x)不一定是偶函数)
(2)奇、偶函数的图像有什么特征?
(奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称)(3)奇、偶函数的定义域有什么特征?(奇、偶函数的定义域关于原点对称)
三、解释应用 [例 题]
1.判断下列函数的奇偶性.
注:①规范解题格式;②对于(5)要注意定义域x∈(-1,1].
2.已知:定义在R上的函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x),求f(x)的表达式.
解:(1)任取x<0,则-x>0,∴f(-x)=-x(1-x),而f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x(1-x).
(2)当x=0时,f(-0)=-f(0),∴f(0)=-f(0),故f(0)=0.
3.已知:函数f(x)是偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,判断f(x)在(0,+∞)上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
解:先结合图像特征:偶函数的图像关于y轴对称,猜想f(x)在(0,+∞)上是增函数,证明如下:
任取x1>x2>0,则-x1<-x2<0.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴f(-x1)>f(-x2). 又f(x)是偶函数,∴f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
思考:奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系?
[练习]
1.已知:函数f(x)是奇函数,在[a,b]上是增函数(b>a>0),问f(x)在[-b,-a]上的单调性如何.
(x)=-x3|x|的大致图像可能是()
3.函数f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R),当a,b,c满足什么条件时,(1)函数f(x)是偶函数.(2)函数f(x)是奇函数. 4.设f(x),g(x)分别是R上的奇函数和偶函数,并且f(x)+g(x)=x(x+1),求f(x),g(x)的解析式.
四、拓展延伸
1.有既是奇函数,又是偶函数的函数吗?若有,有多少个? 2.设f(x),g(x)分别是R上的奇函数,偶函数,试研究:(1)F(x)=f(x)·g(x)的奇偶性.(2)G(x)=|f(x)|+g(x)的奇偶性.
3.已知a∈R,f(x)=a- ,试确定a的值,使f(x)是奇函数.
4.一个定义在R上的函数,是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式?
高中数学教学设计 篇2
函数的奇偶性是函数的重要性质,是对函数概念的深化。它把自变量取相反数时函数值间的关系定量地联系在一起,反映在图像上为:偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于坐标原点成中心对称。这样,就从数、形两个角度对函数的奇偶性进行了定量和定性的分析。
教材首先通过对具体函数的图像及函数值对应表归纳和抽象,概括出了函数奇偶性的准确定义。然后,为深化对概念的理解,举出了奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数的函数和非奇非偶函数的实例。最后,为加强前后联系,从各个角度研究函数的性质,讲清了奇偶性和单调性的联系。这节课的重点是函数奇偶性的定义,难点是根据定义判断函数的奇偶性。
教学目标
1、通过具体函数,让学生经历奇函数、偶函数定义的讨论,体验数学概念的建立过程,培养其抽象的概括能力。
2、理解、掌握函数奇偶性的定义,奇函数和偶函数图像的特征,并能初步应用定义判断一些简单函数的奇偶性。
3、在经历概念形成的过程中,培养学生归纳、抽象概括能力,体验数学既是抽象的又是具体的。
任务分析
这节内容学生在初中虽没学过,但已经学习过具有奇偶性的具体的函数:正比例函数y=kx,反比例函数 ,k≠0,二次函数y=ax,a≠0,故可在此基础上,引入奇、偶函数的概念,以便于学生理解。在引入概念时始终结合具体函数的图像,以增加直观性,这样更符合学生的认知规律,同时为阐述奇、偶函数的几何特征埋下了伏笔。
对于概念可从代数特征与几何特征两个角度去分析,让学生理解:奇函数、偶函数的定义域是关于原点对称的非空数集;对于在有定义的奇函数y=fx,一定有f0=0既是奇函数,又是偶函数的函数有fx=0,x∈R在此基础上,让学生了解:奇函数、偶函数的矛盾概念———非奇非偶函数。关于单调性与奇偶性关系,引导学生拓展延伸,可以取得理想效果。
教学设计
一、问题情景
1、观察如下两图,思考并讨论以下问题:
(1)这两个函数图像有什么共同特征?
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
可以看到两个函数的图像都关于y轴对称。
从函数值对应表可以看到,当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同。
对于函数fx=x,有f3=9=f3,f2=4=f2,f1=1=f1。事实上,对于R内任意的一个x,都有fx=x2=x2=fx。此时,称函数y=x2为偶函数。
2、观察函数fx=x和fx= 的图像,并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两个函数有什么共同特征。
可以看到两个函数的图像都关于原点对称。函数图像的这个特征,反映在解析式上就是:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值fx也是一对相反数,即对任一x∈R都有fx=fx。此时,称函数y=fx为奇函数。
二、建立模型
由上面的分析讨论引导学生建立奇函数、偶函数的定义
1奇、偶函数的定义
如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有fx=fx,那么函数fx就叫作奇函数。如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有fx=fx,那么函数fx就叫作偶函数。
2、提出问题,组织学生讨论
(1)如果定义在R上的函数fx满足f2=f2,那么fx是偶函数吗? fx不一定是偶函数
(2)奇、偶函数的图像有什么特征?
(奇、偶函数的图像分别关于原点、y轴对称)
3奇、偶函数的定义域有什么特征? (奇、偶函数的定义域关于原点对称)
三、解释应用
[例 题]
1、判断下列函数的奇偶性。
注:①规范解题格式;
②对于5要注意定义域x∈1,1]。
2、已知:定义在R上的函数fx是奇函数,当x>0时,fx=x1+x,求fx的表达式。
解:1任取x<0,则x>0,∴fx=x1x,
而fx是奇函数,∴fx=fx。∴fx=x1x。
(2)当x=0时,f0=f0,∴f0=f0,故f0=0
3、已知:函数f(x是偶函数,且在∞,0上是减函数,判断fx在0,+∞)上是增函数,还是减函数,并证明你的结论。
解:先结合图像特征:偶函数的图像关于y轴对称,猜想f(x在0,+∞)上是增函数,
证明如下:
任取x1>x2>0,则x1 ∵fx在∞,0上是减函数,∴fx1>fx2。 又fx是偶函数,∴fx1>fx2。 ∴f(x在0,+∞)上是增函数。 思考:奇函数或偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性有何关系? [练习] 1、已知:函数fx是奇函数,在[a,b]上是增函数b>a>0,问fx在[b,a]上的单调性如何。 2fx=x3|x|的大致图像可能是 3、函数fx=ax2+bx+c,a,b,c∈R,当a,b,c满足什么条件时,1函数fx是偶函数。2函数fx是奇函数。 4设fx,gx分别是R上的奇函数和偶函数,并且fx+gx=xx+1,求fx,gx的解析式。 四、拓展延伸 1、有既是奇函数,又是偶函数的函数吗?若有,有多少个? 2设fx,gx分别是R上的奇函数,偶函数,试研究: 1Fx=fx·gx的奇偶性。 2Gx=|fx|+gx的奇偶性。 3、已知a∈R,fx=a ,试确定a的值,使fx是奇函数。 4、一个定义在R上的函数,是否都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和的形式? 2011年陕西师范大学家教资格考试 教学设计 题目:《等差数列》教学设计 考生姓名:赵春丽 设计科目:数学 学 号: 专业班级:数学四班 高中数学教学设计 学科:数学 年级:高二 课题名称:等差数列 一、课程说明 (一)教材分析:此次一对一家教所使用教材为北师大版高中数学必修5。辅导内容为第一章第二节等差数列。前一节的内容为数列,学生已初步了解到数列的概念,知道什么是首项,什么是通项等等。以及了解到什么是递增数列,什么是递减数列。通过第一节的学习的铺垫,可以让学生更自主的探究,学习等差数列。而我也是在这些基础上为她讲解第二节等差数列。(二)学生分析:此次所带学生是一名高二的学生。聪明但是不踏实,做题浮躁。基础知识掌握不够牢靠,知识的运用能力较差,分析能力较弱,解题思路不清。每次她遇到会的题,就快快的草率做完,总会有因马虎而犯的错误。遇到稍不会的,总是很浮躁,不能冷静下来慢慢思考。就由略不会变成不会。但她也是个虚心听教的孩子,给她讲课,她也会很认真地听讲。(三)教学目标: 1.通过教与学的配合,让她能够懂得什么是等差数列,以及等差数列的通项公式。 2.通过对公式的推导,让她加深对内容的理解,以及学会自己对公式的推导。并且能够灵活运用。 3.在教学中让她通过对公式的推导来明白推理的艺术,并且培养她学习,做题条理清晰,思路缜密的好习惯。 4.让她在学习,做题中一步步抽丝剥茧,寻找解决问题的方法,培养她敢于面对数学学习中的困难,并培养她对克服困难和运用知识。耐心地解决问题。 5.让她在学习中发现数学的独特的美,能够爱上数学这门课。并且认真对待,自主学习。(四)教学重点: 1.让学生正确掌握等差数列及其通项公式,以及其性质。并能独立的推导。 2.能够灵活运用公式并且能把相应公式与题相结合。 (五)教学难点: 1.让学生掌握公式的推导及其意义。 2.如何把所学知识运用到相应的题中。 二、课前准备 (一)教学器材 对于一对一教教采用传统讲课。一张挂历。 (二)教学方法 通过对生活中的有规律数据的观察来提出问题,让学生结合前一节所学,思考有什么规律。从生活中着手有利于激发学生的兴趣爱好,并能更积极地学习。让学生先独立的思考,不仅能让她对所学知识映像更为深刻,并且培养她的缜密思维。让她回答后,我再帮助她纠正,并且让她提出心中所虑。经过我给她讲完课后,让她回答自己先前的疑虑。并且让她自己总结,得出结论。最后让她勤加练习。以一种“提出问题—探究问题—学习知识—解答问题—得出结论—强加训练”的模式方法展开教学。 (三)课时安排 课时大致分为五部分: 1.联系实际提出相关问题,进行思考。 2.以我教她学的模式讲授相关章节知识。 3.让学生练习相关习题,从所学知识中找其相应解题方案。 4.学生对知识总结概括,我再对其进行补充说明。5.布置作业,让她课后多做练习。 三、课程设计 (一)提出问题 【引入】根据我们的挂历上,一个月的日期数。通过观察每一行日期和每一列日期它们有什么规律? 思考 1)2)3)1,3,5,7,9.......2,4,6,8,10.......6,6,6,6,6......这些每一行有什么规律? (二)分析问题并讲解 1.通过观察每一个数与前一个数相差为同一个常数。再结合前一节所学数列的定义总结出“每一项与前一项的差为同一个常数,我们称这样的数列为等差数列。”并且得出“这个常数为等差数列的公差。” 2.设首项为 a1,公差为d。由思考题 1)2)3)可观察出什么?由学生通过她的发现来推导总结出 an?a1?(n?1)d?nd?(a1?d 3.通过分析通项公式的特点,做下题(学生自己分析,思考来做。)例:已知在等差数列{an}中,a5??20,a20??35,试求出数列的通项公式? 通过学生做题再分析总结,用详细的语言讲解总结等差数列的性质: 等差数列{an},{bn} 1) an?a1an?amd??(n?m?1,n,m?N?)。 n?1n?m2)若m?n?p?q(m,n,p,q?N?) p?q则2an?ap?aq。则am?an?ap?aq(反之不真)。3)若m?n,2m?4)am,am?k,am?2k,am?3k,??,am?nk也构成等差数列,公差为kd。 5)a1?a2???am,am?1?am?2???a2m,a2m?1?a2m?2???a3m,?也构成等差数列,其公差为md。 26)数列{can差数列。7) ?d}为等差数列,{an?bn},{?an??bn??}为等a1?an?a2?an?1?a3?an?2???ak?an?1?k 让学生根据所讲性质做练习题 练习: 1)a1?a4?a7?15,a2a4a6?45 {an}为等差数列,求an? 2)已知等差数列{an},a1?33,a7?75 求a2,a3,a4,a5,a6及an? 4.由以上公式,性质,让学生总结。讲解等差数列的定义。并且掌握数列的递增,递减与公差d的关系。5.总结,串讲当日所学 给出题目:1?2?3?4??98?99?100 让她求其和Sn,并思考如何快速计算? (三)布置作业 1.总结当日所学。 2.做练习册上章节习题。 3.根据当日所学以及课上所讲求 的思考题,找出快速运算方法,并引导预习等差数列前n项和。 四、设计理念 以一种最简便,易懂的方式让学生来学习,一切以让学生正确掌握知识,并能正确运用为理念。并能充分调动学生和家教老师的积极性为理念来设计。 五、教学设计反思 本节课教程内容较难,是下一节等差数列前n项和的铺垫。此节课学习通过联系实际,把数学融入到生活中,从生活中探究学习数学。并提出问题,分析问题。把主动权交给学生,由她先独立思考总结,再由我给她正确讲解总结,然后再让她做相应练习题,课后再认真总结。这样可以加强她学习的主动性,更有利于她对知识的消化,吸收。这种方法同时可以培养学生的思维能力,让她从自主学习中探索适合自己的学习方法,培养她独立思考的能力。让她更深刻的了解知识内涵,巩固所学。使她能灵活运用所学。 教学设计要符合学生特点,才能更好地帮助学生学习。 等比数列的前n 项和 (第一课时) 一. 教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前 n 项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学 (5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思 想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前 n 项和”是“等差数列及其前 n 项和”与“等比数列” 。内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓 , 表现欲较强 , 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深 刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看: 学生很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的形成、特点等方 面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往 容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为:(1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的特点,在此 基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类 比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的--- 能力. (3)情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点 , 难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中 q 与 1 的关系。 五.教法与学法分析.培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为: “知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是: 知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作,主动建构而 获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话: 还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计 (一)创设情境,提出问题。(时间设定: 3 分钟) [ 利用投影展示 ] 在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64 个方格上,第一格放 1 粒小麦,第二 格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64 格。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊。为什么呢? [设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节 课的主题与重点 ] --- 提出问题 1:同学们,你们知道西萨要的是多少粒小麦吗? 引导学生写出麦粒总数 1 222 326 3(二)师生互动,探究问题 [5 分钟 ] 提出问题 2:1+ 2+ 2 + 2 + +2 究竟等于多少呢 ?)有学生会说:用计算器来求(老师当然肯定这种做法,但学生很快发现比较难求。提出问题 3:同学们,我们来分析一下这个和式有什么特征?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 提出问题 4:如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,那么我们若在此等式两边同以 得到另一式: [ [ 利用投影展示 ] ...S6463 1 2 2 2.........(1) 2S64 22 2 42.......(2) 比较(1)(2)两式,你有什么发现?(学生经过比较发现:(1)、(2)两式有许多相同的项) 提出问题 5:将两式相减,相同的项就消去了,得到什么呢?。(学生会发现: S 64 [ 这五个问题的设计意图:层层深入,剖析了错位相减法中减的妙用,使学生容易接受为什么要错 位相减,经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,也让学生感受到这种方法的神奇 ] 这时,老师向同学们介绍错位相减法,并 提出问题 6:同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程,为什 么(1)式两边要同乘以 2 呢? [这个问题的设计意图 :让学生对错位相减法有一个深刻的认识,也为探究等比数列求和公式的推导 做好铺垫 ] (三)类比联想,解决问题。 [ 时间设定: 10 分钟 ] 提出问题 7: 设等比数列 a a n 的首项为1, 公比为 q, 求它的前项和 Sn 即 S n a1 a2 a3 a n 学生开展合作学习, 讨论交流,老师巡视课堂,发现有典型解法的,叫同 学板书在黑板上。 [ 设计意图:从特殊到一般 ,从模仿到创新 , 有利于学生的知识迁移和能力提高,让学生在探索过程 中,充分感受到成功的情感体验 ] --- 2,(四)分析比较,开拓思维。 [ 时间设定: 5 分钟 ] 将不同的的方法进等行比分析数评列价。{根an据},学公生比的为认识q状,况它,的可前能有n如下项几和种方法: 错位相减法 1: S n aa1 q a q a q n 2 a q n 1 qSn a1 q a1q (1 q)Sn a1等比数列 a1 q a1q a1 qna1q n2n1n 错位相减法2{ an },公比为 a2 a2 q,它的前 n 项和 Sn a1 qS n a3 a3 a n 1a an an n 1 an q (1 q)Sna1 an q 等比数列 {an },公比为,它的前 n 项和 提出公比 q qSn a 1a2 a3 2S a a q a q n aa1 n 1n a q n2 a q 1 1 n1 1 1 a q(a a q 1a q n 1n n 3a q) n2 aq (Sn a1q) (1 q)Sn a1 a1 q累加法 等比数列 { an },公比为 ,它的前 n 项和 q aa n 1 Sn a1 a2 a3 n a2 a3 a4 an a2 a3 a1 q a2 q a3 q an 1q an q(a1 a2 a3 an 1) Sn a1 q(Sn an) (1 q)Sn a1anq 可能也有同学会想到由等比定理得 --- Sn a1 a2 a3 a2 a3 a1 a2 a2 a3 an aaan an n 1 q q 即 a1 a2 San n 1 1 an q Sn (1 q)Sn a1 anq 【设计意图:共享学习成果,开拓了思维,感受数学的奇异美(五).归纳提炼,构建新知。[ 时间设定: 3 分钟 ] 提出问题 8: 由 】 (1-q)s = aq 1? q 1 时是什么数列?此时 Sn ? 【设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识,完善知识结构,增强思维的严谨性】 . 提出问题 9: 等比数列的前 n项和公式怎样 ? a1(1 q) n, q 1 a1 an q Sn1 学生归纳出 Sn, q 1 1 q na1, q 1 q na1 , q 1 【设计意图:向学生渗透分类讨论数学思想,加深对公式特征的了解(六)层层深入,掌握新知。[ 时间设定: 15 分钟 ] 】 基础练习1已知 an 是等比数列 , 公比为 q (1)若a=,q=,则S 1 3 3n(2).则a1 2, q 1,则Sn 练习2 判断是非 n 2 1 1(1 2) n(1).1-2+4-8+16- +-2 2 3 n 1(2) n 1(1 2) (2).1 2 1 2 8a(1 a) 1 a (3).a a a a 【设计意图:通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快” 练习.通 --- 过总结、辨析和反思,强化公式的结构特征. 】 例 1 已知数列 an 是等比数列 , 完成下表 题号 a1(1)1/2(2)27 q 1/2 2/3 n an Sn ()-2-96 33【设计意图:渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力 三求二 ”的题型 】 .掌握公式中 ”知 练习3:求等比数列 1, 1 , 1 , ,2 4 8 16 1 1 1 11前 8 项和; 变式 1、等比数列 2 , 4 , 8 ,16,前多少项的和是 64 ; 111变式 2、等比数列, , 1 , , 求第 5 项到第 10 项的和; 2 4 8 16 变式 3、等比数列 a,a,a,2 3a, 求前 2n 项中所有偶数项的和。 n (先由学生独立求解,然后抽学生板演,教师巡视、指导,讲评学生完成情况,寻找学生中的闪光 点,给予热情表扬。) 【设计意图:变式训练 ,深化认识,增加思维的梯度的同时,提高学生的模式识别能力,渗透转化思 想】. 练习4 有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作,试用期过后,老板对这位大学生很欣赏,有意留下他,就让这位大学生提出待遇方面的要求,这位学生提出了两种方案让老板选择,其一: 工作一年,月薪五千元;其二:工作一年,第一个月的工资为 20 元,以后每个月的工资是上月工资的 2 倍,此时,老板不假思索就选择了第二种方案,于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下,老板的选择是否正确? 【设计意图: 让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活,生活中处处有数学. 】 (七)总结归纳,加深理解。 [ 时间设定: 2 分钟 ] (1)等比数列的求和公式是什么?应用时要注意什么?(2)用什么方法可以推导了等比数列的求和公式? 【设计意图:形成知识模块,从知识的归纳延伸到思想方法的提炼,优化学生的认知结构】 (八)课后作业,巩固提高。 [ 时间设定: 1 分钟 ] 必做:(1)P66练习1 --- 研究性作业:请上网查阅“芝诺悖论” 选做:求和: 1 2 2 22 3 23 4 24 n 2n 【设计意图:为了使所有学生巩固所学知识,布置了“必做题” ;“选做题”又为学有余力者留有自 .】 由发展的空间,布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习,拓展学生的视野 七、教学反思: 本节课立足课本,着力挖掘,设计合理,层次分明。充分体现以学生发展为本,培养学生的观察、概括和探究能力,遵循学生的认知规律,体现理论联系实际、循序渐进和因材施教的教学原则,通过问题情境的创设,激发兴趣,使学生在问题解决的探索过程中,由学会走向会学,由被动答题走向主动探究。在教学思想上既注重知识形成过程的教学,还特别突出学生学习方法的指导,探究 能力的训练,引导学生发现数学的美,体验求知的乐趣。 --- 1、集合与函数概念实习作业 一、教学内容分析 《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第44页。——《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色,学生通过了解函数的发展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中,对函数的概念有更深刻的理解;感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。 二、学生学习情况分析 该内容在《普通高中课程标准实验教科书·数学(1)》(人教A版)第44页。学生第一次完成《实习作业》,积极性高,有热情和新鲜感,但缺乏经验,所以需要教师精心设计,做好准备工作,充分体现教师的“导演”角色。特别在分组时注意学生的合理搭配(成绩的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等),选题时,各组之间尽量不要重复,尽量多地选不同的题目,可以让所有的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。 三、设计思想 《标准》强调数学文化的重要作用,体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和掌握数学知识和技能,还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神,体会数学家的创新精神,以及数学文明的深刻内涵。 四、教学目标 1、了解函数概念的形成、发展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物; 2、体验合作学习的方式,通过合作学习品尝分享获得知识的快乐; 3、在合作形式的小组学习活动中培养学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。 五、教学重点和难点 重点:了解函数在数学中的核心地位,以及在生活里的广泛应用; 难点:培养学生合作交流的能力以及收集和处理信息的能力。 六、教学过程设计 【课堂准备】 1、分组:4~6人为一个实习小组,确定一人为组长。教师需要做好协调工作,确保每位学生都参加。 2、选题:根据个人兴趣初步确定实习作业的题目。教师应该到各组中去了解选题情况,尽量多地选择不同的题目。 教学目标: 1、了解反函数的概念,弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系。 2、会求一些简单函数的反函数。 3、在尝试、探索求反函数的过程中,深化对概念的认识,总结出求反函数的一般步骤,加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识。 4、进一步完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维能力,用辩证的观点分析问题,培养抽象、概括的能力。 教学重点: 求反函数的方法。 教学难点: 反函数的概念。 教学过程: 一、创设情境,引入新课 1、复习提问 ①函数的概念 ②y=f(x)中各变量的意义 2、同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系,即S=vt和t=(其中速度v是常量),在S=vt中位移S是时间t的函数;在t=中,时间t是位移S的函数。在这种情况下,我们说t=是函数S=vt的反函数。什么是反函数,如何求反函数,就是本节课学习的内容。 3、板书课题 由实际问题引入新课,激发了学生学习兴趣,展示了教学目标。这样既可以拨去"反函数"这一概念的神秘面纱,也可使学生知道学习这一概念的必要性。 二、实例分析,组织探究 1、问题组一: (1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系? (2)由,已知y能否求x? (3)是否是一个函数?它与有何关系? (4)与有何联系? 2、问题组二: (1)函数y=2x1(x是自变量)与函数x=2y1(y是自变量)是否是同一函数? (2)函数(x是自变量)与函数x=2y1(y是自变量)是否是同一函数? (3)函数()的定义域与函数()的值域有什么关系? 3、渗透反函数的概念。 (教师点明这样的函数即互为反函数,然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发,抽象出反函数的概念,符合学生的认知特点,有利于培养学生抽象、概括的能力。 通过这两组问题,为反函数概念的引出做了铺垫,利用旧知,引出新识,在"最近发展区"设计问题,使学生对反函数有一个直观的粗略印象,为进一步抽象反函数的概念奠定基础。 三、师生互动,归纳定义 1、(根据上述实例,教师与学生共同归纳出反函数的定义) 函数y=f(x)(x∈A)中,设它的值域为C。我们根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出来,得到x=j(y)。如果对于y在C中的任何一个值,通过x=j(y),x在A中都有的值和它对应,那么,x=j(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数。这样的函数x=j(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数。记作:。考虑到"用x表示自变量,y表示函数"的习惯,将中的x与y对调写成。 2、引导分析: 1)反函数也是函数; 2)对应法则为互逆运算; 3)定义中的"如果"意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数; 4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域; 5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数; 6)要理解好符号f; 7)交换变量x、y的原因。 3、两次转换x、y的对应关系 (原函数中的自变量x与反函数中的函数值y是等价的,原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的) 四、应用解题,总结步骤 1、(投影例题) 【例1】求下列函数的反函数 (1)y=3x—1(2)y=x1 【例2】求函数的反函数。 (教师板书例题过程后,由学生总结求反函数步骤。) 2、总结求函数反函数的步骤: 1、由y=f(x)反解出x=f(y)。 2、把x=f(y)中x与y互换得。 3、写出反函数的定义域。 【例3】(1)有没有反函数? (2)的反函数是。 (3)(x<0)的反函数是。 在上述探究的基础上,揭示反函数的定义,学生有针对性地体会定义的特点,进而对定义有更深刻的认识,与自己的预设产生矛盾冲突,体会反函数。在剖析定义的过程中,让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想,并对数学的符号语言有更好的把握。 通过动画演示,表格对照,使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识,从而消化理解。 通过对具体例题的讲解分析,在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用,并及时归纳总结,培养学生分析、思考的习惯,以及归纳总结的能力。 题目的设计遵循了从了解到理解,从掌握到应用的不同层次要求,由浅入深,循序渐进。并体现了对定义的反思理解。学生思考练习,师生共同分析纠正。 五、巩固强化,评价反馈 1、已知函数y=f(x)存在反函数,求它的反函数y=f(x) (1)y=—2x3(xR)(2)y=—(xR,且x) (3)y=(xR,且x) 2、已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数,求f(7)的值。 六、反思小结,再度设疑 本节课主要研究了反函数的定义,以及反函数的求解步骤。互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节研究。 进一步强化反函数的概念,并能正确求出反函数。反馈学生对知识的掌握情况,评价学生对学习目标的落实程度。具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性。"问题是数学的心脏"学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂。 七、作业 习题第1题,第2题 进一步巩固所学的知识。 教学设计说明 "问题是数学的心脏"。一个概念的形成是螺旋式上升的,一般要经过具体到抽象,感性到理性的过程。本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数,进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析,最终形成概念。 反函数的概念是教学中的难点,原因是其本身较为抽象,经过两次代换,又采用了抽象的符号。由于没有一一映射,逆映射等概念的支撑,使学生难以从本质上去把握反函数的概念。为此,我们大胆地使用教材,把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示,进而探究原因,寻找规律,程序是从问题出发,研究性质,进而得出概念,这正是数学研究的顺序,符合学生认知规律,有助于概念的建立与形成。另外,对概念的剖析以及习题的配备也很精当,通过不同层次的问题,满足学生多层次需要,起到评价反馈的作用。通过对函数与方程的分析,互逆探索,动画演示,表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节,充分调动了学生的探求欲,在探究与剖析的过程中,完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维。使学生自然成为学习的主人。 一、目标 1.知识与技能 (1)理解流程图的顺序结构和选择结构。 (2)能用字语言表示算法,并能将算法用顺序结构和选择结构表示简单的流程图 2.过程与方法 学生通过模仿、操作、探索、经历设计流程图表达解决问题的过程,理解流程图的结构。 3情感、态度与价值观 学生通过动手作图,.用自然语言表示算法,用图表示算法。进一步体会算法的基本思想——程序化思想,在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力。 二、重点、难点 重点:算法的顺序结构与选择结构。 难点:用含有选择结构的流程图表示算法。 三、学法与教学用具 学法:学生通过动手作图,.用自然语言表示算法,用图表示算法,体会到用流程图表示算法,简洁、清晰、直观、便于检查,经历设计流程图表达解决问题的过程。进而学习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。 教学用具:尺规作图工具,多媒体。 四、教学思路 (一)、问题引入 揭示题 例1 尺规作图,确定线段的一个5等分点。 要求:同桌一人作图,一人写算法,并请学生说出答案。 提问:用字语言写出算法有何感受? 引导学生体验到:显得冗长,不方便、不简洁。 教师说明:为了使算法的表述简洁、清晰、直观、便于检查,我们今天学习用一些通用图型符号构成一张图即流程图表示算法。 本节要学习的是顺序结构与选择结构。 右图即是同流程图表示的算法。 (二)、观察类比 理解题 1、 投影介绍流程图的符号、名称及功能说明。 符号 符号名称 功能说明 终端框 算法开始与结束 处理框 算法的各种处理操作 判断框 算法的各种转移 输入输出框 输入输出操作 指向线 指向另一操作 2、讲授顺序结构及选择结构的概念及流程图 (1)顺序结构 依照步骤依次执行的一个算法 流程图: (2)选择结构 对条进行判断决定后面的步骤的结构 流程图: 3.用自然语言表示算法与用流程图表示算法的比较 (1)半径为r的圆的面积公式 当r=10时写出计算圆的面积的算法,并画出流程图。 解: 算法(自然语言) ①把10赋与r ②用公式 求s ③输出s 流程图 (2) 已知函数 对于每输入一个X值都得到相应的函数值,写出算法并画流程图。 算法:(语言表示) ① 输入X值 ②判断X的范围,若 ,用函数Y=x+1求函数值;否则用Y=2-x求函数值 ③输出Y的值 流程图 小结:含有数学中需要分类讨论的或与分段函数有关的问题,均要用到选择结构。 学生观察、类比、说出流程图与自然语言对比有何特点?(直观、清楚、便于检查和交流) (三)模仿操作 经历题 1.用流程图表示确定线段的一个16等分点 2.分析讲解例2; 分析: 思考:有多少个选择结构?相应的流程图应如何表示? 流程图: (四)归纳小结 巩固题 1.顺序结构和选择结构的模式是怎样的? 2.怎样用流程图表示算法。 (五)练习P99 2 (六)作业P99 1 教学目标 1.明确等差数列的定义. 2.掌握等差数列的通项公式,会解决知道中的三个,求另外一个的问题 3.培养学生观察、归纳能力. 教学重点 1. 等差数列的概念; 2. 等差数列的通项公式 教学难点 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用 教具准备 投影片1张 教学过程 (I)复习回顾 师:上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点,下面看一些例子。(放投影片) (Ⅱ)讲授新课 师:看这些数列有什么共同的特点? 1,2,3,4,5,6; ① 10,8,6,4,2,…; ② 生:积极思考,找上述数列共同特点。 对于数列①(1≤n≤6);(2≤n≤6) 对于数列②-2n(n≥1)(n≥2) 对于数列③(n≥1)(n≥2) 共同特点:从第2项起,第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。 师:也就是说,这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列,我们把它叫做等差数。 一、定义: 等差数列:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与空的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示。 如:上述3个数列都是等差数列,它们的公差依次是1,-2, 。 二、等差数列的`通项公式 师:等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是,公差是d,则据其定义可得: 若将这n-1个等式相加,则可得: 即:即:即:…… 由此可得:师:看来,若已知一数列为等差数列,则只要知其首项和公差d,便可求得其通项。 如数列①(1≤n≤6) 数列②:(n≥1) 数列③:(n≥1) 由上述关系还可得:即:则:=如:三、例题讲解 例1:(1)求等差数列8,5,2…的第20项 (2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 解:(1)由n=20,得(2)由得数列通项公式为:由题意可知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100,即-401是这个数列的第100项。 (Ⅲ)课堂练习 生:(口答)课本P118练习3 (书面练习)课本P117练习1 师:组织学生自评练习(同桌讨论) (Ⅳ)课时小结 师:本节主要内容为:①等差数列定义。 即(n≥2) ②等差数列通项公式 (n≥1) 推导出公式:(V)课后作业 一、课本P118习题 1,2 二、1.预习内容:课本P116例2P117例4 2.预习提纲: ①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题? ②等差数列有哪些性质? 教学目标: 1、使学生了解角的形成,理解角的概念掌握角的各种表示法; 2、通过观察、操作培养学生的观察能力和动手操作能力。 3、使学生掌握度、分、秒的进位制,会作度、分、秒间的单位互化 4、采用自学与小组合作学习相结合的方法,培养学生主动参与、勇于探究的精神。 教学重点: 理解角的概念,掌握角的三种表示方法 教学难点: 掌握度、分、秒的进位制, ,会作度、分、秒间的单位互化 教学手段: 教具:电脑课件、实物投影、量角器 学具:量角器需测量的角 教学过程: 一、建立角的概念 (一)引入角(利用课件演示) 1、从生活中引入 提问: A、以前我们曾经认识过角,那你们能从这两个图形中指出哪些地方是角吗? B、在我们的生活当中存在着许许多多的角。一起看一看。谁能从这些常用的物品中找出角? 2、从射线引入 提问: A、昨天我们认识了射线,想从一点可以引出多少条射线? B、如果从一点出发任意取两条射线,那出现的是什么图形? C、哪两条射线可以组成一个角?谁来指一指。 (二)认识角,总结角的定义 3、 过渡:角是怎么形成的呢?一起看 (1)、演示:老师在这画上一个点,现在从这点出发引出一条射线,再从这点出发引出第二条射线。 提问:观察从这点引出了几条射线?此时所组成的图形是什么图形? (2)、判断下列哪些图形是角。 (√) (×) (√) (×) (√) 为何第二幅和第四幅图形不是角?(学生回答) 谁能用自己的话来概括一下怎样组成的图形叫做角? 总结:有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角(angle) 角的第二定义:角也可以看做由一条射线绕端点旋转所形成的图形.如下图中的角,可以看做射线OA绕端点0按逆时针方向旋转到OB所形成的我们把OA叫做角的始边,OB叫做角的终边. B 0 A 4、认识角的各部分名称,明确顶点、边的作用 (1)观看角的图形提问:这个点叫什么?这两条射线叫什么?(学生边说师边标名称) (2)角可以画在本上、黑板上,那角的位置是由谁决定的? (3)顶点可以确定角的位置,从顶点引出的两条边可以组成一个角。 5、学会用符号表示角 提问:那么,角的符号是什么?该怎么写,怎么读的呢?(电脑显示) (1)可以标上三个大写字母,写作:∠ABC或∠CBA,读作:角ABC或角CBA. (2)观察这两种方法,有什么特点?(字母B都在中间) (3)所以,在只有一个角的时候,我们还可以写作: ∠B,读作:角B (4)为了方便,有时我们还可以标上数字,写作∠1,读作:角1 (5)注:区别 “∠”和“<”的不同。请同学们指着用学具折出的一个角,训练一下这三种读法。 6、强调角的大小与两边张开的程度有关,与两条边的长短无关。 二、 角的度量 1、学习角的度量 (1)教学生认识量角器 (2) 认识了量角器,那怎样使用它去测量角的度数呢?这部分知识请同学们合作学习。 提出要求:小组合作边学习测量方法边尝试测量 第一个角,想想有几种方法? 1、要求合作学习探究、测量。 2、反馈汇报:学生边演示边复述过程 3、教师利用课件演示正确的操作过程,纠正学生中存在的.问题。 4、归纳概括测量方法(两重合一对) (1)用量角器的中心点与角的顶点重合 (2)零刻度线与角的一边重合(可与内零度刻度线重合;也可与外零度刻度线重合) (3)另一条边所对的角的度数,就是这个角的度数。 5、小结:同一个角无论是用内刻度量角,还是用外刻度量角,结果都一样。 6、独立练习测量角的度数(书做一做中第一题1,3与第二题) (1) 独立测量,师注意查看学生中存在的问题。 (2) 课件演示纠正问题 三、度、分、秒的进位制及这些单位间的互化 为了更精细地度量角,我们引入更小的角度单位:分、秒.把1°的角等分成60份,每份叫做1分记作1′;把1′的角再等分成60份,每份叫做1秒的角,1秒记作1″. 1°=60′,1′=60″; 1′=( )°,1″=( )′. 例1 将°用度、分、秒表示. 解:先把°化为分, °=60′×=′. 再把′化为秒, ′=60″×=12″. 所以 ″=57°19′12″. 例2 把10°6′36″用度表示. 解:先把36″化为分, 36″=( )′×36=′ 6′+′=′. 再把′化为度, ′=( )°×=°. 所以 10°6′36″=1°. 四、巩固练习 课本P122练习 五、总结:请大家回忆一下,今天都学了那些知识,通过学习你想说些什么? 六、作业:课本P123 3、4.(1)(3)、5.(2)(4) 教学目标: 1.了解反函数的概念,弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系. 2.会求一些简单函数的反函数. 3.在尝试、探索求反函数的过程中,深化对概念的认识,总结出求反函数的一般步骤,加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识. 4.进一步完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维能力,用辩证的观点分析问题,培养抽象、概括的能力. 教学重点:求反函数的方法. 教学难点:反函数的概念. 教学过程: 教学活动 设计意图一、创设情境,引入新课 1.复习提问 ①函数的概念 ②y=f(x)中各变量的意义 2.同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系,即S=vt和t=(其中速度v是常量),在S=vt 中位移S是时间t的函数;在t=中,时间t是位移S的函数.在这种情况下,我们说t=是函数S=vt的反函数.什么是反函数,如何求反函数,就是本节课学习的内容. 3.板书课题 由实际问题引入新课,激发了学生学习兴趣,展示了教学目标.这样既可以拨去"反函数"这一概念的神秘面纱,也可使学生知道学习这一概念的必要性. 二、实例分析,组织探究 1.问题组一: (用投影给出函数与;与()的图象) (1)这两组函数的图像有什么关系?这两组函数有什么关系?(生答:与的图像关于直线y=x对称;与()的图象也关于直线y=x对称.是求一个数立方的运算,而是求一个数立方根的运算,它们互为逆运算.同样,与()也互为逆运算.) (2)由,已知y能否求x? (3)是否是一个函数?它与有何关系? (4)与有何联系? 2.问题组二: (1)函数y=2x 1(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数? (2)函数(x是自变量)与函数x=2y 1(y是自变量)是否是同一函数? (3)函数 ()的定义域与函数()的值域有什么关系? 3.渗透反函数的概念. (教师点明这样的函数即互为反函数,然后师生共同探究其特点) 从学生熟知的函数出发,抽象出反函数的概念,符合学生的认知特点,有利于培养学生抽象、概括的能力. 通过这两组问题,为反函数概念的引出做了铺垫,利用旧知,引出新识,在"最近发展区"设计问题,使学生对反函数有一个直观的粗略印象,为进一步抽象反函数的概念奠定基础. 三、师生互动,归纳定义 1.(根据上述实例,教师与学生共同归纳出反函数的定义) 函数y=f(x)(x∈A) 中,设它的值域为 C.我们根据这个函数中x,y的关系,用 y 把 x 表示出来,得到 x = j (y) .如果对于y在C中的任何一个值,通过x = j (y),x在A中都有的值和它对应,那么, x = j (y)就表示y是自变量,x是自变量 y 的函数.这样的函数 x = j (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: .考虑到"用 x表示自变量, y表示函数"的习惯,将中的x与y对调写成. 2.引导分析: 1)反函数也是函数; 2)对应法则为互逆运算; 3)定义中的"如果"意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数; 4)函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f(y)的值域、定义域; 5)函数y=f(x)与x=f(y)互为反函数; 6)要理解好符号f; 7)交换变量x、y的原因. 3.两次转换x、y的对应关系 (原函数中的自变量x与反函数中的函数值y 是等价的,原函数中的函数值y与反函数中的自变量x是等价的) 4.函数与其反函数的关系 函数y=f(x) 函数 定义域 A C 值 域 C A 四、应用解题,总结步骤 1.(投影例题) 【例1】求下列函数的反函数 (1)y=3x-1 (2)y=x 1 【例2】求函数的反函数. (教师板书例题过程后,由学生总结求反函数步骤.) 2.总结求函数反函数的步骤: 1° 由y=f(x)反解出x=f(y). 2° 把x=f(y)中 x与y互换得. 3° 写出反函数的定义域. (简记为:反解、互换、写出反函数的定义域)【例3】(1)有没有反函数? (2)的反函数是. (3)(x<0)的反函数是. 在上述探究的基础上,揭示反函数的定义,学生有针对性地体会定义的特点,进而对定义有更深刻的`认识,与自己的预设产生矛盾冲突,体会反函数.在剖析定义的过程中,让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想,并对数学的符号语言有更好的把握. 通过动画演示,表格对照,使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识,从而消化理解. 通过对具体例题的讲解分析,在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用,并及时归纳总结,培养学生分析、思考的习惯,以及归纳总结的能力. 题目的设计遵循了从了解到理解,从掌握到应用的不同层次要求,由浅入深,循序渐进.并体现了对定义的反思理解.学生思考练习,师生共同分析纠正. 五、巩固强化,评价反馈 1.已知函数 y=f(x)存在反函数,求它的反函数 y =f( x) (1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x) ( 3 ) y=(xR,且x) 2.已知函数f(x)=(xR,且x)存在反函数,求f(7)的值. 五、反思小结,再度设疑 本节课主要研究了反函数的定义,以及反函数的求解步骤.互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢?为什么具有这样的特点呢?我们将在下节研究. (让学生谈一下本节课的学习体会,教师适时点拨) 进一步强化反函数的概念,并能正确求出反函数.反馈学生对知识的掌握情况,评价学生对学习目标的落实程度.具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性."问题是数学的心脏"学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂. 六、作业 习题第1题,第2题 进一步巩固所学的知识. 教学设计说明 "问题是数学的心脏".一个概念的形成是螺旋式上升的,一般要经过具体到抽象,感性到理性的过程.本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数,进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析,最终形成概念. 反函数的概念是教学中的难点,原因是其本身较为抽象,经过两次代换,又采用了抽象的符号.由于没有一一映射,逆映射等概念的支撑,使学生难以从本质上去把握反函数的概念.为此,我们大胆地使用教材,把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示,进而探究原因,寻找规律,程序是从问题出发,研究性质,进而得出概念,这正是数学研究的顺序,符合学生认知规律,有助于概念的建立与形成.另外,对概念的剖析以及习题的配备也很精当,通过不同层次的问题,满足学生多层次需要,起到评价反馈的作用.通过对函数与方程的分析,互逆探索,动画演示,表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节,充分调动了学生的探求欲,在探究与剖析的过程中,完善学生思维的深刻性,培养学生的逆向思维.使学生自然成为学习的主人。 一、什么是教学案例 教学案例是真实而又典型且含有问题的事件。简单地说,一个教学案例就是一个包含有疑难问题的实际情境的描述,是一个教学实践过程中的故事,描述的是教学过程中“意料之外,情理之中的事”。 这可以从以下几个层次来理解: 教学案例是事件:教学案例是对教学过程中的一个实际情境的描述。它讲述的是一个故事,叙述的是这个教学故事的产生、发展的历程,它是对教学现象的动态性的把握。 教学案例是含有问题的事件:事件只是案例的基本素材,并不是所有的教学事件都可以成为案例。能够成为案例的事件,必须包含有问题或疑难情境在内,并且也可能包含有解决问题的方法在内。正因为这一点,案例才成为一种独特的研究成果的表现形式。 案例是真实而又典型的事件:案例必须是有典型意义的,它必须能给读者带来一定的启示和体会。案例与故事之间的根本区别是:故事是可以杜撰的,而案例是不能杜撰和抄袭的,它所反映的是真是发生的事件,是教学事件的真实再现。是对“当前”课堂中真实发生的实践情景的描述。它不能用“摇摆椅子上杜撰的事实来替代”,也不能从抽象的、概括化的理论中演绎的事实来替代。 二、如何进行教学案例研究 教学案例是教师教学行为真实、典型的记录,也是教师教学理念和教学思想的真实体现。因此它是教育教学研究的宝贵资源,也是教师之间交流的重要媒介。进行教学案例的研究是教师不断反思、改进自己教学的一种方法,能促使教师更为深刻地认识到自己工作中的重点和难点。这个过程就是教师自我教育和成长的过程。 那么如何进行教学案例研究呢?一般情况下,案例研究的程序基本有以下两个环节:案例研究的准备及实施、案例研究报告的撰写与反思。 (一)案例研究的准备与实施 1.研究主题的选择 案例研究都要有研究的重点和主题,这个主题常与教学改革的核心理念、常见的疑难问题和困惑事件相关,一般来说可以从教学的各个方面确定研究的主题,如从教师教学行为确定主题——教学材料的选择、教学中的提问、教学媒体的使用、教学评价语言、课堂教学调控行为等;也可以从学生的学习方式确定主题——探究性学习、问题解决学习、合作学习、实践性活动等。另外从学科特点、教学内容等都可以确定研究的主题。 研究者要了解当前教学的大背景,教改的大方向,要熟悉相关的《课程标准》和有针对性地作一些理论准备。还要通过有关的调查,搜集详尽的材料(如阅读教师的教学设计,进行访谈等),同时初步确定案例研究的方向、研究任务,即初步确定案例的内容是关于教学策略、学生行为或是教学技能的研究。 一般来说,案例研究主题的确定往往需要思考下面一些问题:即研究的事件是否对于自我发现更有潜力?选择的事件对学生是否有较大的情感影响(心灵是否受到震撼)?关键事件再现了前人(或自己)过去成功的行为吗?事件呈现的是一个你不能确定怎样解决的问题?事件需要你做出困难的选择吗?事件使得你必须以一种感觉不熟悉的方式或是仍在思考的方式回答吗?事件暗示一个与道德或道义上相关的问题吗?研究的主题如果反映以上的一些内容,那么这样的案例研究在自我学习、内省和深层次理解方面就可能更加富有成效。 高中数学教学案例研究的主题内容主要集中在三方面:(1)学科特点的体现:如数学思想方法的教学、数学思维品质的培养、本质属性的抽象、数学结论的推广等;(2)学生数学学习规律的探究:如数学学习习惯、解决问题的思维方式、独立思考与合作学习等;(3)教师专业知识的提升:如数学板书与电子屏幕的展示对学生思维的影响、数学语言的训练对人们思维的影响、数学知识模式化教学的优劣等。 2.案例研究的基本方法 (1)课堂观察。观察方法是指研究者按照一定的目的和计划,在课堂教学活动的自然状态下,用自己的感官和辅助工具对研究对象进行观察研究的一种方法。它可以是教师自己对教学对象——学生,在课堂活动中的片断进行观察,也可以由其他教师来实施观察,这两种观察的目的都是为了掌握课堂教学中的第一手资料。课堂观察方法不限于用肉眼观察、耳听手记,还可利用各种工具如照相、录音、摄像等作为辅助观察的手段,以提高观察的效果。对观察的资料,可以逐字逐句整理成课堂教学实录、教学程序表、提问技巧水平检核表、提问行为类型频次表、课堂教学时间分配表等,以便以后继续分析案例提供翔实的原始材料。 (2)访谈与调查。对一些课堂教学不能观察到的`师生内心活动,如教师教学的目的、教学程序的意图、教学手段的运用以及教学达标的成效等一些需要进一步了解的问题,可以通过与执教教师的交谈以及和学生的座谈,以丰富和充实课堂教学观察的材料;对学生在课堂教学活动中回答问题的心理状态、解题思路等问题,也可以在课后做一些问卷调查;对学生达标的成度、效度,也可以作一些测试调查。从这些访谈、调查的材料中,再分析课堂教学的现象,不难发现造成各种课堂现象与教师教学行为之间的因果关系,然后再具体寻找在哪个教学环节中出现问题,从中提炼出解决问题的对策。 (3)文献分析。文献分析是通过查阅文献资料,从过去和现在的有关研究成果中受到启发,从中找到课堂教学现象的理论依据,从而增强案例分析的说服力。当然,对广大第一线教师而言,这里所运用的文献分析方法,并不是为了论证新教育理论,也不是去归纳教育的宏观现象,而是通过有关教育理论文献的查阅,去进一步解读课堂教学的活动,挖掘案例中的教育思想。如在数学教学中,我们常常通过学生的动手操作来获得有关的数学概念、法则与公式,那么,为什么要这样做呢?就可以带着问题,查阅、分析有关文献资料,从学习中提高研究者自身的理论水平。 (二)案例研究报告的撰写 1.常见的案例报告格式 撰写教学案例,结构可以灵活多样,并非要千篇一律、一个模式,而是可以有不同的表现形式,如“案例背景——案例描述——案例分析”、“案例过程——案例反思”、“课例——问题——分析”、“主题与背景——情景描述——问题讨论——诠释与研究”等。当前,国内外课堂教学案例编写的格式有多种多样。但不管何种编写格式,它们都有两个共同的特点:一是对案例的客观描述;二是对案例中所述问题、关键教学事件等的分析。 下面介绍两种常用的案例编写的格式: (1)“描述+分析”式 此格式的特点是将整个案例分为两大部分,前半部分主要为描述课堂教学活动的情景,后半部分主要针对情景中的一个问题进行理论分析并获得结论。案例的描述一般是把课堂教学活动中的某一片断像讲故事一样原原本本地、具体生动地描绘出来。描述的形式可以是一串问答式的课堂对话,也可以概括式地叙述,主要是提供一个或一连串课堂教学疑难的问题,并把教育理论、教育思想隐藏在描述之中。案例的分析部分是针对描述的情景发表个人或多人的感受,同时加以理论的分析与说明。分析方法可以是对描述中提出的一个问题,从几个方面加以分析:也可以是对描述中的几个问题,集中从一个方面加以分析。分析的目的是要从描述的情景中提炼问题的本质,讲述理论的解释,明确正确的方法,最终获得对关键教学事件的正确把握。 (2)“背景+描述+问题+诠释”式 此格式是一种要求比较高的编写格式,而且,它在实际教学中的作用也更大。通常它将整个案例分为四个部分: A.主题与背景 主题是关键教学事件中所反映的案例主要观点,也是整篇案例的核心思想。背景主要叙述案例发生的地点、时间、人物的一些基本情况。当然,这部分的内容不宜很长,只需提纲挈领叙述清楚即可。 B.情景描述 与“描述+分析”式中的描述相同,主要突出主题所反映的课堂教学活动。 C.问题讨论 这是根据主题要求与情景描述,进行的分析、归纳、总结与提炼,包括学科知识的要点、教学法和情景特点以及案例的说明与注意事项。这部分内容主要是为案例教学服务的,目的是提高教师的认识水平与学生主动学习的能力。不同的教学观念,不同的教学手段,所提出的问题也不同。对案例中所提出的主题以及情景描述中提出的问题阐述自己的见解。 D.诠释与研究 这部分主要是用教育理论对案例情景作多角度的解读。它包括对课堂教学行为的技术资料、课堂教学实录以及教学活动背后的故事等作理论上的分析。例如,在课堂教学中,我们常看到这样的现象,课堂教学的效果高于预期的目标,反之教师期望的目标学生没有达到或有所偏离,教学内容呈现的先后与学生理解的程度、教学方法运用与学生内在动机的激发等环节存在着矛盾,这些事件的背后,必然隐含着丰富的教育思想。所以,通过诠释,挖掘这些事件背后的内在思想,揭示其教育规律就显得十分的必要。 2.案例报告撰写的关键 (1)掌握四个原则。要写好教学案例,除了平时多积累素材,学习他人的案例作品以提高写作技巧外,还应把握以下四点: A.主题性原则:要有捕捉关键教学事件的意识,以此确定案例研究的主题。为此要注意了解新的课程改革的动向、把握适合时代要求的数学教育方式、明确学生数学学习的难点和重点,寻找数学教师专业发展的途径与规律。报告围绕主题进行情景描述和获得解决问题的策略。这种描述不是简单的教学活动实录,要反映事件发生的过程,重点描述反映关键教学事件的变化和戏剧化的情境,犹如记叙文写作,突出主题,详写重点,雕刻高潮。 案例鲜明的主题通常关系到教学的核心理念、常见问题、处理方法等等,可以说,主题就是案例的灵魂。而主题的最佳表现形式就是文题直接体现主题。因此,设计主题就要有新意、有时代感,通俗地说就是与众不同,要有独特见解、独家发现。来源于实践的教学案例并非都有同等价值,关键要看撰写者对实践的发展与理论的升华程度,包括对题目的推敲。如有的教学案例重点描述了有戏剧性的情节,用了“细节决定成败”的题目,给人耳目一新,一下子揪住了读者的心。再如,一些有创意的题目《“导之有方”方能“导之有效”》、《跳出数学教数学》、《在数学的疑难处悟成长》、《捕捉资源因势利导》等等,让人一看题目就有阅读的欲望。实践证明,在写作案例时,选择有感悟、有新意的内容,在明确主题,恰当拟题后再动笔,才能写出高质量的案例。 B.理论性原则:解决问题的策略中应当蕴含一定的教育基本原理和教育思想。实际是将自己对教育理念以及教育基本原理的理解渗透于描述的字里行间,比如学生做了什么,参与程度,投入程度如何,教师如何引导点拨,师生心理、行为变化情况等,无不体现教师的教学思想和教育基本原理。 C.叙事性原则:案例报告的书写方式是叙事式,它不同于论述式。叙事方式必须以课堂教学生动的事实为主要情节,可以夹叙夹议,也可以选择情景片段,可以是一节课中的情景,也可以是围绕一个主题的几节课的情景片段。 D.学科性原则:数学案例报告一定要体现学科的特征,要有较深刻的理性思考,要反映数学的基本思想与方法,要符合课程标准,满足教材内容的呈现方法,积极培养良好的思维习惯。就是撰写者的教育思想和教育理念在教学实践中具体体现。 (2)用好四种表述。教学案例的表述方法很多,可以归纳为以下四种方法: A.故事式陈述法:就是教学全程或某一精彩教学片段实录,包括教师和学生的一言一行。陈述时,根据操作程序作一点“简评”,最后作“总评”。 B.以案说理:对教学过程进行陈述时,舍去与文题不相关或不重要的部分,并强化与主题相关的重要情节,尤其是引发高潮的关键行为,然后有较长篇幅的理性思考。 C.图表展示法:用图表进行统计的形式体现撰写者的教育思想,给人以一目了然的感觉,帮助读者迅速了解撰写者的写作意图,是常用的一种案例撰写方法。比如,描述学生的参与人数,投入程度,解决问题的质量等多个问题,都可以在一张或数张图表上用百分比或个(次)数进行统计。在每一张图表后,应有一段“分析”或“结论”,将撰写者的教学理念进行理性阐述,亦可在图表展示后,总的提出自己对案例的分析和建议。 D.分析讨论法:在撰写时,应汲取分析讨论中最精彩的部分做深入、细致的全面记录,最后撰写者还必须对讨论情况做一分析,或提出一些值得今后进一步思考的问题。 3.优秀案例的特征 (1)时代性:一个好的案例描述的是现实生活场景——案例的叙述要把事件置于一个时空框架之中,应该以关注今天所面临的疑难问题为着眼点,至少应该是近年发生的事情,展示的整个事实材料应该与整个时代及教学背景相照应,这样的案例读者更愿意接触。一个好的案例可以使读者有身临其境的感觉,并对案例所涉及的人产生移情作用。 (2)真实性:一个好的案例应该包括从案例所反映的对象那里引述的材料——案例写作必须持一种客观的态度,因此可引述一些口头的或书面的、正式的或非正式的材料,如对话、笔记、信函等,以增强案例的真实感和可读性。重要的事实性材料应注明资料来源。 (3)适用性:一个好的案例需要针对面临的疑难问题提出解决办法——案例不能只是提出问题,它必须提出解决问题的主要思路、具体措施,并包含着解决问题的详细过程,这应该是案例写作的重点。如果一个问题可以提出多种解决办法的话,那么最为适宜的方案,就应该是与特定的背景材料相关最密切的那一个。如果有包治百病、普遍适用的解决问题的办法,那么案例这种形式就不必要存在了。 (4)反思性:一个好的案例需要有对已经做出的解决问题的决策的评价——评价是为了给新的决策提供参考点。可在案例的开头或结尾写下案例作者对自己解决问题策略的评论,以点明案例的基本论点及其价值。 三、案例研究过程中需注意的问题 1.选材面过窄。从内容上看,多数案例是关于课堂教学甚至局限于一节课的研究,往往不能说明问题,或者在一节课中,也只会从简单的对话分析问题,做不到全方位、多角度。这说明教师对教学情境的丰富性、复杂性和联系性认识不够。 2.缺乏典型性。有的案例对教学实践没有挖掘与反思,随意摘取一些教学片段泛泛而谈、人云亦云,没有实用价值。不能够通过对某一事件现象的分析、处理、诠释,达到举一反三的效果,这样的案例对他人没什么借鉴作用。 3.主题不明确。主要体现为: (1)主题涣散。有的案例象记流水帐,没有根据需要进行恰当的取舍,看不出作者要反映、探讨什么问题,缺乏指导性、创新性和参考性。 (2)定题过于随意。有的案例直接用案例研究依据的文题为题目,如《“三角函数”教学案例》、《“抛物线”教学案例》等,题目不鲜明、不形象,影响读者的选读和案例的传播。 4.结构不合理。案例作为一种文体,有它自己的写作结构,只有优化案例的结构,才能增强案例的可读性和指导性。如写成一般的教学设计,一般包括“备课思路、教学目标、教学重点、教学方法、课前准备、教学内容、教学过程”等内容;写成教学实录,把一堂课从头到尾详尽地记录下来,再写上作者的看法;重记录轻分析,过程描述多,评析少等等。没有创新,平淡无趣,看不出案例研究和反映的问题。 5.描述与分析脱节。有的案例描述与分析矛盾,让人不知所云;有时反映的是一种观点,分析阐明的是另一种观点,虽然不矛盾,但联系不紧密;有的分析中热衷于抄录教育理论的一些条条,脱离案例描述的事件而空谈理论,显得空泛无物。 高中数学教学设计锦集11篇相关文章: ★ 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