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集合学习过程集合与元素的理解 知识点 1：集合与元素的理解 （1）一般地，研究对象统称为元素，常用 a，b，c…表示，一些元素组成的总体叫集合， 常用 A,B,C…表示，也简称集，如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A，如果a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a ? A。
（2）注意凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象。
（3）集合是一个整体已经暗含所有、全部、全体的意思，因此一些对象一旦组成了集合， 那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象，例如{x|x>0}就是指所有大于 0 的实数。
（4）集合与元素之间的关系是整体与个体的关系这种写法是错误的{1}∈{1、2、3}。
知识点 2：集合中元素的三个特性 （1）确定性：设 A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是 A 的元素，或者不 是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象） ，因此， 同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：{a，b，c}与{b，a，c}是同一个集合。
知识点 3：集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。一般有这样 几种不同的写法{1，2，3，4}，{1，2，3，…，100}，{1，2，3，4，…,n,…} （2）描述法：{x|x∈p(x)}，其中一对大括号是必须的，x 是代表元素，他说明这个集合是 点集还是数集等，p(x)是代表元素满足的性质。竖线不可省。
（3）自然语言：如{2，4，6，8}用自然语言叙述为：大于等于 2 且小于等于 8 的偶数组成 的集合。
（4）集合的图形表示法：1、韦恩（Venn）图，用平面上封闭曲线的内部表示集合 2、数轴法，如下表示集合{x|-4<x<2}，实点表示能取到该值，空点表示取不到。知识点 4：集合的运算 1、子集、真子集：如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A 叫做集 合 B 的子集，记作 A ? B 或 B ? A . 符号语言：若 x∈A 则 x∈B 图形语言：如图 若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素， 那么 P 不包含于 Q， Q 不包含 P.记作：P ? Q ； 或 若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫做集合 B 的真 子集. A ? B 或 B ? A .注意任何一个集合都是他本身的子集，不含任何元素的集合叫做空 n 集Ф，规定空集是任何集合的子集。牢记以下四个结论：n 个元素的集合有 2 个子集；n 个 n n n 元素的集合有 2 -1 个真子集；n 个元素的集合有 2 -1 个非空子集；n 个元素的集合有 2 -2 个非空真子集。 2、并集：一般地，对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做 A,B 的并集．记作 A∪B（读作＂A 并 B＂） ， 符号语言：A∪B=｛x|x∈A，或 x∈B｝ ．Veen 图： 如： ｛1,2,3,6｝∪｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝ ． 又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e｝,B={c,d,e,f}.则 A∪B={a,b,c,d,e,f} 注意 1、A∪B 是所有属于 A 和 B 的元素放在一起，并且满足互异性。2、A∪B 仍然是个集 合。
A∪B 共有以下五种图示：3、交集：一般的所有属于 A 且属于 B 的元素组成的集合叫做 A 与 B 的交集。记作：A∩B 读作：A 交 B，符号语言：A∩B=｛x|x∈A，且 x∈B｝Veen 图： A∪B 共有以下五种图示：4、补集：若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补 集，记作 CU A ，读作：A 在 U 中的补集 CU A =｛x|x ? A｝学习结论1、 凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的元素。
2、 集合的三个特性：确定性、互异性、无序性。
3、 集合的表示方法：列举法、描述法、自然语言；图形表示法：数轴法、Veen 图 约定俗成的特定集合：非负整数集（或自然数集） ，记作 N;；整数集，记作 N*或 N+； 整数集，记作 Z；有理数集，记作 Q；实数集，记作 R，不能随意延伸，造作。
4、 关于子集、真子集、非空真子集、个数的四个结论。
5、 熟练掌握子交并补的三种语言表示，即文字语言、符合语言、图形语言。典型例题例题 1、已知集合 A = ? x1 1? ? ≥ ? ， B = {x 2m ? 1 ≤ x ≤ m + 1, m ∈ R}，且 B ? A ，求 ? x + 2 7?m 的取值范围．解析： 解析： A = { x | ?2 < x ≤ 5} ∵B ? A 当 2m ? 1 > m + 1 即 m > 2 时， B = ? ? A 当 2m ? 1 = m + 1 即 m = 2 时， B = {3} ? A 当 2m ? 1 < m + 1 即 m < 2 时， ? 综上得 m > ?? ?2 < 2 m ? 1 1 1 ? ? < m ≤ 4 ，∴ ? < m < 2 2 2 ?m + 1 ≤ 51 2例题 2、已知 A = 集合 x 2 < x < 3 ， 集合 B = x kx + 2 x + 6k > 0 ，实数集 R .2{}{}(1) 若 A = B ,求实数 k 的值； (2) 若 B ∩ R = R ，求实数 k 的取值范围.2 解析： (1) 由 A = B 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 x 2 < x < 3 ,所以 x1 = 2, x 2 = 3 解析：{}? 2 ?? k = 2 + 3 = 5 2 ? 2 是方程 kx + 2 x + 6k = 0 的两个根, 由韦达定理得 ? , 且 k < 0. ? k = ? . 5 ? 6k = 2 × 3 = 6 ?k ?(2)由 B ∩ R = R 知不等式 kx + 2 x + 6k > 0 的解集是 R, 显然 k ≠ 0,2?k > 0 6 ∴B∩R = R ? ? ,解之得 k > . 2 6 ?? = 2 ? 4 k ? 6 k < 0例题 3、解关于 x 的不等式：1 > a, (a ∈ R ). 2? x 1 1 1 + a ( x ? 2) ax ? (2a ? 1) 解析： >a? +a<0? <0? < 0. 解析： 2? x x?2 x?2 x?2 1 （1）当 a = 0 时, 原不等式 ? > 0. ∴ 原不等式的解集为 {x x < 2}; 2? x 1 x ? (2 ? ) a < 0. 这时 2 ? 1 < 2, ∴ 原不等式的解集为 (2) 当 a > 0 时, 原不等式 ? x?2 a1 ? ? ? x 2 ? < x < 2? ; a ? ?1 x ? (2 ? ) a > 0. 这时 2 ? 1 > 2, ∴ 原不等式的解集为 (3) 当 a < 0 时, 原不等式 ? x?2 a1? ? ? x | x < 2, 或x > 2 ? ? . a? ?例题 4、 已知集合 求实数 的取值范围。
解：方法 1 ， 一个负根。
中至少含有一个负数，即方程 至少有 ， ， 若 ，当方程有两个负根时，，，当方程有一个负根与一个正根时，当方程有一个负根与一个零根时， 或 或从而实数 的取值范围为 方法 2 ， 中至少含有一个负数取全集 当 A 中的元素全是非负数时，， ，所以当 从而当时的实数 a 的取值范围为 时的实数 a 的取值范围为
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期中测试一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的 选择题：代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 。
1．满足条件{0，1}∪A={0，1}的所有集合A的个数是 A．1个 答案：D B． 2个 C． 3个 D．4个 （ ）解析： φ , 1} , 0} 1, 2} 。
2．下列四个命题中，设U为全集，则不正确的命题是 A．若A∩B＝ φ ，则(CUA)∪(CUB)＝U C．若A∪B＝U，则(CUA)∩(CUB)＝ φ ? 答案：B B．若A∩B＝ φ ，则A＝B＝ φ D．若A∪B＝ φ ，则A＝B＝ φ （ ）{ { {?2 x ? x 2 (0 ≤ x ≤ 3) ? 3．函数 f(x)= ? 的值域是 ? x 2 + 6 x(?2 ≤ x ≤ 0) ?A．R B．[－9，＋ ∞ ) C．[－8，1] D．[－9，1]（）答案：C 解析：分段求值域再求并集。
4．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下 图中纵轴表示离学校的距离， 横轴表示出发后的时间， 则下图中的四个图形中较符合该 学生走法的是 （ ） d d0 d d0 d d0 d d0O A．2t0 t B．Ot0 tO C．t0 tO D．t0 t （ ）5．函数 y=x －3x(x<1)的反函数是 A．y=3 9 9 + x + (x>－ ) 2 4 4 3 9 + x + (x>－2) 2 4B．y=3 9 9 ? x + (x>－ ) 2 4 4 3 9 ? x + (x>－2) 2 4C．y=D．y=答案：D 解析：特别要注意原函数的值域为反函数的定义域。
6．已知 A、B 两地相距 150 千米，某人开汽车以 60 千米/小时的速度从 A 地到达 B 地，在 B 地停留 1 小时后再以 50 千米/小时的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的距离 x 表示 为时间 t（小时）的函数表达式是 （ ） A．x=60t B．x=60t＋50t ?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) C．x= ? ?150 ? 50t , (t > 3.5)?60t , (0 ≤ t ≤ 2.5) ? D．x= ?150, ( 2.5 < t ≤ 3.5) ?150 ? 50(t ? 3.5), (3.5 < t ≤ 6.5) ?答案：D 解析：不同的路程不同的速度，特别注意返回时的函数。
7．函数 f(x)=loga x + 1 ,在（－1，0）上有 f(x)>0，那么 A．f(x)(－ ∞ ,0)上是增函数 C．f(x)在（－ ∞ ，－1）上是增函数 答案：C B．f(x)在（－ ∞ ，0）上是减函数 D．f(x)在（－ ∞ ，－1）上是减函数 （ ）解析：由 f(x)=loga x + 1 ,在（－1，0）上有 f(x)>0 得 0 < a < 1 故选 C。
8．某工厂去年 12 月份的产值是去年 1 月份产值的 m 倍，则该厂去年产值的月平均增长率 为 （ A.m 11）B.m 12C. 12 m ? 1D. 11 m ? 1答案：D 9．设 f（x）＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g（x）＝4x ? b 是奇函数，那么 a＋b 的值为（ 2x）A． 1B．－1C．－1 2D．1 2答案：D 10．某地的中国移动“神州行”卡与中国联通130网的收费标准如下表： 网络 甲：联通130网 乙：移动“神州行”卡 月租费 12元 无 本地话费 每分钟0.36元 每分钟0.6元 长途话费 每 6 秒 钟 0.06 元 每 6 秒 钟 0.07 元(注:本地话费以分钟为单位计费,长途话费以6秒钟为单位计费) 若某人每月拨打本地电话时间是长途电话时间的5倍,且每月通话时间(分钟)的范围在区 间(60,70)内,则选择较为省钱的网络为 （ ） A.甲 B.乙 C.甲乙均一样 D.分情况确定 答案：A 填空题： 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 4 分，共 16 分）. 11．用集合分别表示下列各图中的阴影部分： (1) (2) (3) (4) 答案：(1)(A∩C)∪(B∩C)(或(A∪B)∩C)；(2)(A∩C)∪B(或(A∪B)∩(C∪B))； (3)(A∩CUB)∪(B∩C)；(4)A∪(B∩C)。
12．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，当 x>0 时， f ( x) = x + | x | ?1 ，那么 x<0 时， f(x)= . 2 答案： ? x + x + 1 。213．若 f(x)= 答案：a>ax + 1 在区间（－2，＋ ∞ ）上是增函数，则 a 的取值范围是 x+2.1 。
2.14．函数f(x) = log 3 | 2 x + a | 的图象的对称轴方程为x=2，则常数a= 答案：-4。三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共44分). 解答题：15、 （10 分）设 x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2－2(m－1)x＋m＋1=0 的两个实根，又 y=x21 ＋x22，求 y=f(m)的解析式及此函数的定义域.。
答案：y=f(m)=4m2－10m＋2(m ≤ 0 或 m ≥ 3) 解析：∵x1,x2 是 x2－2(m－1)x＋m＋1=0 的两个实根， ∴ ? =4（m－1）2－4(m＋1) ≥ 0,解得 m ≤ 0 或 m ≥ 3。
又∵x1＋x2=2(m－1), x1·x2=m＋1, ∴y=f(m)=x12＋x22=(x1＋x2)2－2x1x2=4m2－10m＋2, 即 y=f(m)=4m2－10m＋2(m ≤ 0 或 m ≥ 3)。
16、 （10 分）设函数 f(x)对任意 x,y ∈ R ，都有 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) ，且 x > 0 时，f(x)<0， f(1)=－2． ⑴求证：f(x)是奇函数； ⑵试问在 ? 3 ≤ x ≤ 3 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由. 答案： （2）函数最大值为 6，最小值为－６ 解析：⑴证明：令 x=y=0，则有 f (0) = 2 f (0) ? f (0) = 0 ． 令 y=－x，则有 f (0) = f ( x ) + f ( ? x ) ． 即 f ( ? x ) = ? f ( x) ，∴ f (x) 是奇函数．⑵任取 x1 < x 2 ，则 x2 ? x1 > 0. ? f ( x2 ? x1 ) < 0. 且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f ( ? x 2 ) = f ( x1 ? x 2 ) = ? f ( x 2 ? x1 ) > 0 ．∴ f ( x1 ) < f ( x 2 ) ． ∴ y = f (x) 在 R 上为减函数．因此 f (3) 为函数的最小值， f (?3) 为函数的最大值． f (3) = f (1) + f ( 2) = 3 f (1) = 6 ，f (?3) = ? f (3) = ?6 ， ∴ 函数最大值为 6，最小值为－６。17、 （12 分）设函数 f ( x ) = 2 +xa ? 1 （a 为实数） 2x（1）当 a＝0 时，若函数 y = g ( x ) 的图象与 f ( x ) 的图象关于直线 x=1 对称，求函数y = g ( x) 的解析式； （2）当a<0时，求关于x的方程 f ( x ) ＝0在实数集R上的解. 答案： （1） g ( x) = 22? x?1;x（2） x = log 21 + 1 ? 4a 2。解析： （1）当 a=0 时， f ( x ) = 2 ? 1 设 y = g ( x ) 图像上任意一点 P（x、y） ，则 P 关于 x=1 的对称点为 P/（2－x，y） 由题意 P/（2－x，y）在 f ( x ) 图像上,所以, y = 22 ? x ? 1 ,即 g ( x ) = 22 ? x ? 1 ; （2） f ( x ) = 0 ,即 2 +xa ? 1 = 0 ,整理，得： (2 x ) 2 ? 2 x + a = 0 x 2 1 ? 4a >1所以 2 =x1 ± 1 ? 4a ，又 a<0，所以 2所以 2 =x1 + 1 ? 4a 1 + 1 ? 4a ，从而 x = log 2 2 2。18、 （12 分）设函数 f ( x ) = log 2x +1 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) ， x ?1（1）求 f ( x ) 的定义域； （2） f ( x ) 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由.。答案： （1，p） （1）( p + 1) 2 （2） f ( x ) 有最大值 log 2 ，但没有最小值 4?x +1 >0 ? x >1 ? 解析： （1）由 ? x ? 1 得? ， ?x ? 1 > 0 ?x < p ?p ? x > 0 ? ?因为函数的定义域是非空集合，故 p>1，所以 f(x)的定义域为（1，p） 。p ? 1 2 ( p + 1)2 （2）∵ f ( x ) = log 2 [( x + 1)( p ? x )] = log 2 [?( x ? ) + ] 2 4∴当p ?1 ≤ 1 ，即 1 < p ≤ 3 时， f ( x) 既无最大值又无最小值； 2 p ?1 p ?1 ( p + 1) 2 < p ，即 p > 3 时，当 x = 时， f ( x ) 有最大值 log 2 ， 2 2 4当1 < 但没有最小值. 综上可知： 1 < p ≤ 3 ， f ( x ) 既无最大值又无最小值p > 3 ， f ( x) 有最大值 log 2( p + 1) 2 ，但没有最小值。
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2012 年 3 月 1 日，北京中关村核心区中科大厦蓬荜生辉、喜气盈人。在大厦礼堂，北银消费金融公司 与新华教育集团隆重签订“中国培训--北银助学贷款”项目，助学贷款合作正式启动。人力资源和社会保 障部副部长孙宝树、商务部副部长姜增伟、中国银监会副主席蔡锷生、人力资源和社会保障部培训协会会 长毕结礼等领导见证了现场签约，《北京晚报》、金融界、中金在线等数家媒体给予了高度关注和报道。汪总与北银常务副总经理宋文昌签订协议签约仪式现场 “中国培训--北银助学贷款”项目，是惠及学生、帮扶贫困学子圆满完成学业的一项爱心工程，作为中 国银监会获准筹建、北京银行独资设立的国内首家金融公司、北银在选择合作方时注重对方社会口碑及对 国家的贡献。正是新华教育集团 24 年来持续推动职业教育改革、创新发展的模式，50 多万技能型、应用 型人才的脱颖而出，奠定了国内教育大品牌的声誉，也为率先启动“中国培训--北银消费金融助学贷款” 项目创造了条件。签约活动后，人力资源和社会保障部副部长孙宝树接见了新华教育集团副总经理汪俊，并高度肯定了新 华教育集团的办学模式和“中国培训--北银助学贷款”的举措。人力资源和社会保障部副部长孙宝树接见新华教育集团副总经理汪俊新华教育集团领导陪同相关与会领导参观北银
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